cho hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\) (1), A(3;4). viết phương trình đường thẳng d cắt (1) tại hai điểm phân biệt B,C sao cho tam giác ABC đều
Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{2}x^4-x^2+m\)(m là tham số ) có đồ thị (Cm), đường tròn (S)có phương trình \(x^2+y^2+2x+6y+1=0\) và điểm A(-1;-6).Tìm m để tồn tại tiếp tuyến với đồ thị (Cm) cắt đường tròn (S) tại hai điểm phân biệt B,C sao cho tam giác ABC có chu vi đạt giá trị lớn nhất
Đường tròn (S) tâm \(I\left(-1;-3\right)\) bán kính \(R=3\)
Thế tọa độ A vào pt (S) thỏa mãn nên A nằm trên đường tròn
Ta cần tìm B, C sao cho chi vi ABC lớn nhất
Đặt \(\left(AB;AC;BC\right)=\left(c;b;a\right)\Rightarrow\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R\)
\(\Rightarrow a+b+c=2R\left(sinA+sinB+sinC\right)\)
Mặt khác ta có BĐT quen thuộc \(sinA+sinB+sinC\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều
\(\Rightarrow a=b=c=2R.sin60^0=3\sqrt{3}\)
Khi đó I đồng thời là trọng tâm kiêm trực tâm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC\perp AI\\d\left(A;BC\right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Phương trình BC có dạng \(y=-\dfrac{3}{2}\)
Hay (Cm) có 1 tiếp tuyến là \(y=-\dfrac{3}{2}\) (hệ số góc bằng 0 nên tiếp tuyến này đi qua 2 cực tiểu)
\(\Rightarrow m=-1\)
Câu 1 : Cho hàm số y = 1/2x² có đồ thị là parabol và đường thẳng d có phương trình là y = x + m. Tìm m để d cắt parabol tại hai điểm phân biệt A( x1; y1) B(x2 ; y2) và thỏa mãn 1/2y1 + 1/2y2 = 2
Câu 2: cho một tam giác có đường cao với độ dài bằng một nửa độ dài cạnh đáy tương ứng nếu tăng chiều cao thêm 2 m và cạnh tương ứng tăng thêm 6 m thì được một tam giác có diện tích gấp đôi diện tích tam giác ban đầu Tính diện tích của tam giác ban đầu
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng \(y=mx+2\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O
Hoành độ giao điểm của d : y = mx+2 với (C) là nghiệm phương trình :
\(\begin{cases}x>0\\\log^2_2x-\log_2x^2-3\ge0\end{cases}\)
Dễ thấy với m = 0 thì (1) vô nghiệm. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Điều kiện là
\(\begin{cases}\Delta>0\\m\left(-1\right)^2+m\left(-1\right)+3\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2-12m>0\) \(\Leftrightarrow m<0\) hoặc m > 12 (*)
Với (*) giả sử x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của (1), khi đó tọa độ các giao điểm là :
\(A\left(x_1;mx_1+2\right);B\left(x_2;mx_2+2\right)\)
Dễ thất điểm O không thuộc d nên ABO là một tam giác.
Tam giác ABO vuông tại O khi và chỉ khi :
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow\left(1+m^2\right)x_1x_2+2m\left(x_1+x_2\right)+4=0\)
Áp dụng định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=-1;x_1x_2=\frac{3}{m}\)
Thay vào trên ta được :
\(m^2+4m+3=0\Leftrightarrow m=-3\) hoặc \(m=-1\) (thỏa mãn (*)
Vậy \(m=-3\) hoặc \(m=-1\)
Cho hàm số có đồ thị (C) y = 2 x + 1 x - 1 và đường thẳng d: y=x+m. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm A và B. Với C( -2; 5) , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là
A.m=1
B.m=1 hoặc m=5
C.m=5
D.m=-5
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
2 x + 1 x - 1 = x + m ( x ≠ 1 ) ⇔ x 2 + ( m - 3 ) x - m - 1 = 0 ( 1 )
Khi đó cắt (C) tại hai điểm phân biệt A: B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1
⇔ ( m - 3 ) 2 + 4 ( m + 1 ) > 0 1 2 + ( m - 3 ) - m - 1 ≠ 0 ⇔ m 2 - 2 m + 13 > 0 - 1 ≠ 0 luôn đúng
Gọi A( x1 ; x1+m) ; B( x2 ; x2+m) trong đó x1 ; x2 là nghiệm của (1) , theo Viet ta có
x 1 + x 2 = 3 - m x 1 x 2 = - m - 1
Gọi I ( x 1 + x 2 2 ; ( x 1 + x 2 + 2 m 2 ) là trung điểm của AB, suy ra I ( 3 - m 2 ; 3 + m 2 ) , nên
C I → ( - 2 - 3 - m 2 ; 5 - 3 + m 2 )
⇒ C I = 1 2 ( m - 7 ) 2 + ( 7 - m ) 2 .
Mặt khác A B → = ( x 2 - x 1 ; x 2 - x 1 )
⇒ A B = 2 ( x 2 - x 1 ) 2 = 2 ( m 2 - 2 m + 13 ) 2
Vậy tam giác ABC đều khi và chỉ khi
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) của hàm số y = 2 x + 3 x - 1 cắt đường thẳng △ : y = x + m tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB vuông tại O
A. m = - 3
B. m = 6
C. m = 5
D. m = - 1
b) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; - 2) và cắt dường thẳng d: x - 3y - 17 =0 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 10.
Kẻ IH vuông góc AB
=>H là trung điểm của AB
\(d\left(I;\left(d\right)\right)=IH=\dfrac{\left|1\cdot1+\left(-2\right)\cdot\left(-3\right)-17\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\)
\(S_{IAB}=\dfrac{1}{2}\cdot IH\cdot AB=10\)
=>\(\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot2\cdot AI=10\)
=>\(AI=\sqrt{10}\)
\(R=\sqrt{\left(\sqrt{10}\right)^2\cdot2}=10\sqrt{2}\)
=>(C): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=200\)
Cho hàm số \(y=-\frac{1}{2}x^2\)có đồ thị (P) và đường thẳng (d) đi qua M(-1;-1), đường thẳng (d) không vuông góc với trụ x'Ox.
a) Chứng minh (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
b) Trên (P) lấy hai điểm A và B lần lượt có hoành độ là -2;1. Viết phương trình đường thẳng AB
Cho hàm số y = 2x+1/x-1 (C)
Xác định tham số m để đường thẳng d : y = x +m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt M,N sao cho diện tích tam giác IMN bằng 4 ( I là tâm đối xứng của đồ thị (C))
Cho hàm số y = 2 x + 1 2 x - m có đồ thị (C) và hai điểm A ( -2;3 ); C ( 4;1 ) . Tìm m để đường thẳng d : 3 x - y - 1 = 0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B, D sao cho tứ giác ABCD là hình thoi
A. 8 3
B. 3 8
C. 4 3
D. 3 4
Đường thẳng AC qua A ( -2;3 ); C ( 4;1 ) nhận A C → = 6 ; - 2 làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình là: x + 2 6 = y - 3 - 2 ⇔ y = - 1 3 x + 7 3
Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình 3 x - y - 1 = 0 y = - 1 3 x + 7 3 ⇔ x = 1 y = 2
Để ý rằng A C ⊥ B D và I là trung điểm AC.
Khi đó ABCD là hình thoi thì I ( 1;2 ) là trung điểm của BD.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2 x + 1 2 x - m = 3 x - 1 ⇔ 6 x 2 - 3 m + 4 x + m - 1 = 0
Do ∆ = 3 m + 4 2 - 4 . 6 m - 1 = 9 m 2 + 24 > 0 , ∀ m nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt B và D.
Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (*). Theo định lý Viet ta có x 1 + x 2 2 = 3 m + 4 12
Đáp án A
Để I là trung điểm của BD thì 3 m + 4 12 = 1 ⇔ m = 8 3
Đáp án A